Тригонометрические уравнения с параметром и их решение

Информационно — коммуникативная использование информационных ресурсов. Групповое и межгрупповое взаимодействие, смена видов деятельности учащихся Развитие критического мышления: вызов, осмысление, рефлексия. Возможности выполнения домашнего задания после завершения обсуждения: Полное решение предложенных задач. Создание кластеров по отдельным заданиям группы и выбор критериев для его оценивания. Возможные изменения домашнего задания зависят от хода проведения урока.

таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии. 0 ≤ а +3 ≤ 1,. -3 ≤ а ≤ Основные задачи и методы их решения. 8. § Простейшие Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром −. −. +. −. √ p = 2 − p.

В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам. Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований.

Основные задачи и методы их решения. 8. § Простейшие Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром −. −. +. −. √ p = 2 − p. Особую группу составляют тригонометрические уравнения, в которые помимо Возникает вопрос о значениях параметров, при которых решения​.

Тригонометрические уравнения с параметрами

Ответ : 3. По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Используемая литература. Горнштейн, В. Полонский, М.

Тригонометрические уравнения с параметром

Полосы, внутри которых координаты точек к удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой Рисунок 5 Урок стремительно близится к окончанию.

Задачи 1, 6, 8, 10 не нашли своих почитателей. Во время представления алгоритмов решения задач, выбранных группами, учитель просмотрел классификацию заданий, проведенную учащимися в начале урока. Судя по информации в таблицах, задания 1, 8, 10 оцениваются учащимися как особо сложные и идей по их решению не возникает.

Задание 6 вызвало на предварительном этапе расхождение в ответах, потому его для презентации учащиеся не выбирали. Домашнее задание: модифицируйте рассмотренные задачи и предложите свой вариант их решения. Возможные пути модификации: превратите заданные уравнения в неравенства; измените числовые коэффициенты, сформулируйте иные вопросы к условию задачи. Учитель также предлагает рассмотреть его аналитическое решение выбранных учащимися задач и к следующему занятию прокомментировать достоинства и недостатки решений.

Поскольку их в наличии нет, договариваемся, что каждая из 5 групп мысленно выбирает цвет шляпы, любой, за исключением красного так как эмоций хватало во время споров , и высказывает свое отношение к прошедшему занятию.

Во многих задачах были недочеты в решениях. Использование компьютера в качестве помощника на стадии подготовки переросло в неверное доказательство. Тригонометрические неравенства мы решать не умеем. На ЕГЭ тригонометрия только в простейшей задаче с полным решением, нам не нужны подобные модели к задаче ЕГЭ с параметром. У нас есть ошибки в отборах корней тригонометрических уравнений на промежутках, этому надо уделять время учебных занятий. Состав групп неравноценен.

Жребий позволял первым группам выбирать более простые задания, это никак не учитывалось в оценках. Можно было не предлагать специально ошибиться в решениях, и без этого ошибок хватало. У рассмотренных задач есть алгоритмы решения, просто к ним нужно приучить свои мозги. А может кто-то захочет принять участие в конкурсах или олимпиадах? Можно считать, что начало дорожки к ним мы уже увидели. Им необходимо делать условные переходы, обходить критические значения, чтобы программы не повисли, наверняка, существует банк программ, рассматривающих вопросы тригонометрии.

Нужно только принять позицию программиста, и дело стронется. Хочется согласиться со всеми замечаниями и высказываниями, кроме совсем уж прагматических. Да и прагматикам, стоит иметь ввиду, что никогда не можешь знать, что от тебя потребует жизнь в той или иной ситуации.

Есть предложение провести консультацию по решению оставшихся нерешенными задач, участие в консультации добровольное, задач подобного уровня сложности в ближайшее время на контрольных и диагностических работах не будет. Подведение итогов. Ребята, сегодня мы вместе сделали шаг, пусть небольшой, на пути творческого поиска решений в тригонометрии.

Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. При выполнении письменной зачетной работы вы будете иметь возможность выбора определенного типа заданий. Я надеюсь, что и задачи с параметрами не будут обойдены Вашим вниманием.

Спасибо вам за активную работу на уроке. Занятие окончено. До свидания! В Приложении 1 содержатся комментарии и краткое решение предложенных задач. В Приложении 2 приведен список литературы, использованной при построении занятия и необходимое материально — техническое оборудование. В Приложении 3 представлены графики, использованные при подготовке к уроку, построенные в программе Advanced Grapher. Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений дипломная работа 2.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений: При решении тригонометрических уравнений удобно использовать следующие принципы: 1. При решении простейшего тригонометрического уравнения удобно понизить его степень за счет изменения его аргумента. В случае необходимости проверки удобно подставлять в уравнение не значение найденного аргумента, а значения используемых в решении тригонометрических функций.

Пример 1. Для всех допустимых значений параметра a решить уравнение Преобразуем уравнение. Согласно выше указанному принципу 1, преобразуем первое уравнение системы: Отметим, что. Таким образом, уравнение 1 равносильно системе: В результате, чтобы уравнение 1 не имело решений, достаточно выполнения неравенства. Теперь, когда первое уравнение системы 2 всегда имеет решения, нужно позаботиться о выполнении ее второго словия.

На основании вышеизложенного принципа 2 равносильными преобразованиями: приведем систему 2 к виду: Таким образом, при ограничении на параметр возникают следующие дополнительные условия: для того, чтобы уравнение 1 НЕ имело решений необходимо и достаточно, чтобы любое значение переменной x, для которой удовлетворяло совокупности уравнений: 1 Если, то.

Однако при таких a уравнение 3 принимает вид и не всякое его решение удовлетворяет совокупности 4. Таким образом, при уравнение 1 имеет решениями те значения переменной x, для которой, т. При таких значениях параметра a уравнение 3 принимает вид: Чтобы уравнение 1 имело, решения нужно, чтобы.

Тогда остается, что. При остальных уравнение имеет решение вида Ответ: при уравнение решений не имеет; при; при; при. Пример 2. Определить количество корней уравнения на отрезке.

Тогда исходное уравнение примет вид Перенесем все слагаемые в левую часть и снова преобразуем уравнение. Первое уравнение на отрезке имеет четыре корня: Второе уравнение при корней не имеет. Если, то очевидно, на рассматриваемом отрезке уравнение имеет единственное решение. Если, то, то есть на отрезке уравнение имеет два корня. Заметим, что при корни второго уравнения совокупности содержатся среди корней первого уравнения. Ответ: при уравнение имеет ыетыре корня; при уравнение имеет пять корней; при уравнение имеет шесть корней.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно семь решений. На координатной плоскости cOb построим множество всех точек, удовлетворяющих системе 2.

Первое уравнение задает семейство прямых, параллельных прямой. Второе уравнение - семейство окружностей радиуса с центром в начале координат. Но при выполнении условий второе уравнение есть четверть окружности, расположенная в первой координатной четверти. Найдем радиус такой окружности. Таким образом, 3 выражает зависимость параметра a от n, где. Из рисунка видно, что с увеличением радиуса четверти окружности растет число решений системы 2 , а значит, и число корней исходного уравнения.

Их будет ровно 7, когда четверть окружности касается прямых. При этом, исходя из формулы 3 Ответ: уравнение имеет семь решений при Примечание. На первый взгляд может показаться, что четверть окружности, касающаяся прямой, заданной уравнением пройдет четез точки и. В действительности это не так, так как радиус такой окружности Аналогично четверть окружности, касающаяся прямой не пройдет через точки и, так как радиус этой окружности Пример 4.

Найдите все значения параметра a, при которых число 2 является корнем уравнения Поставим в уравнение Получим уравнение относительно параметра a: Ответ: при корнем уравнения является. Пример 5. Для всех допустимых значений параметра a решите уравнение Рассмотрим функцию.

Рассмотрим функцию. Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел , а также свойство нечетности функции g x , получим Таким образом, имеем Тогда, по теореме 7, исходное уравнение равносильно совокупности двух систем Ответ: при, ; при; при решений нет.

Помимо тригонометрических уравнений среди задач с параметрами встречаются и задачи с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции. Напомним определения обратных тригонометрических функций: 1. Таким образом, 2. Таким образом, Для любого x из отрезка [-1;1] имеем: 3. Таким образом, Для любого x имеем: 4. Таким образом, Для любого x имеем: Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями. Отметим некоторые важные тождества Пример 6.

Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись тождеством На координатной плоскости tOb рис. Следовательно, если.

Решение уравнений с параметрами

На Рисунке 19 изображено решение на координатно-параметрической плоскости aOx с вертикальной параметрической осью. Решаем простейшие тригонометрические неравенства и получаем ответ. В результате были достигнуты цели и задачи: был определен алгоритм, при использовании которого можно решать подобные уравнения, было наглядно показано, что задачи с параметром можно решать несколькими методами. При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Шилкина О.

Уравнения с параметрами

А теперь — более сложная задача B13 на угол между прямой и плоскостью. Но и эта задача может быть решена буквально в пару строчек. Это стереометрические задачи, в которых требуется найти отрезок либо угол. Как всегда, финальная задача будет несложной, но при невнимательном прочтении ошибка практически гарантирована. И ведь такая задача вполне может встретиться на ЕГЭ! Об этом — наш сегодняшний видеоурок. Будьте внимательны: в последнее время такие задачи любят давать на контрольных и самостоятельных работах. Таких уроков будет 4 штуки. Обратите внимание: эта задача включает в себя и тригонометрическое, и показательное уравнение.

Решение задач по математике онлайн

Полосы, внутри которых координаты точек к удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой Рисунок 5 Урок стремительно близится к окончанию. Задачи 1, 6, 8, 10 не нашли своих почитателей. Во время представления алгоритмов решения задач, выбранных группами, учитель просмотрел классификацию заданий, проведенную учащимися в начале урока. Судя по информации в таблицах, задания 1, 8, 10 оцениваются учащимися как особо сложные и идей по их решению не возникает. Задание 6 вызвало на предварительном этапе расхождение в ответах, потому его для презентации учащиеся не выбирали.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений: 1. 2. 3. 4. Их будет ровно 7, когда четверть окружности касается прямых. При этом. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с Решение линейных уравнений состоит в непосредственном .. Найдите их. Методы решения тригонометрических уравнений состоят в типы тригонометрических уравнений с параметрами и методы их решения на основе.

Особенность тригонометрических уравнений состоит в том, что если они имеют решение, то множество, или не имеют ни одного решения. Методы решения тригонометрических уравнений состоят в последовательной замене данного уравнения эквивалентными равносильными ему с тем, чтобы, в конце концов, получить одно или несколько уравнений простейшего типа. Поэтому основой для умения решать тригонометрические уравнения являются хорошее знание формул и четкое понимание понятия эквивалентности уравнения.

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

Теоретические основы решения уравнений с параметрами. Рассмотрим уравнение F х, у,... Уравнение Fo имеет некоторое вполне определенное множество быть, может, пустое решений. Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

План-конспект урока "Решение тригонометрических уравнений с параметрами"

.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

.

Содержание:

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Урок 11. С6 ЕГЭ 2015. Замена переменной. Тригонометрическое уравнение с параметром #3
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Комментариев: 5
  1. revama

    Это сообщение просто бесподобно ;)

  2. Ирина

    К вашему сведению это уже неоднократно обсуждалось и всегда вызывало бурные обсуждения, а консенсуса толкового так и не нашли. Уточните Ваши мысли для читателей

  3. Аскольд

    Автор, а вы из какого города ?

  4. opetamig

    Очунь радует читать такое именно у вас!! Спасибо. icemen.ru – Лучшие!! (Здесь у какого-то умельца спамилка умеет вставлять адрес нужного сайта, а слово “очень” с ошибкой написал)

  5. Мальвина

    Елки, глупая статья

Добавить комментарий

Отправляя комментарий, вы даете согласие на сбор и обработку персональных данных